Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，動點P滿足

CP

=λ

CC1

（λ＞0），當λ=

1

2

時，AB₁⊥BP．
（1）求棱CC₁的長；
（2）若二面角B₁-AB-P的大小為

π

3

，求λ的值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,用空間向量求直線間的夾角、距離

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以點A為坐標原點，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出棱CC₁的長．
（2）求出平面PAB的一個法向量，和平面ABB₁的一個法向量，由已知條件利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）以點A為坐標原點，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
設CC₁=m，則B₁（3，0，m），
B（3，0，0），P（0，4，λm），
所以

AB1

=(3，0，m)，

PB

=(3，-4，-λm)，

AB

=(3，0，0)，…2分
當λ=

1

2

時，有

AB1

•

PB

=(3，0，m)•(3，-4，-

1

2

m)=0
解得m=3

2

，即棱CC₁的長為3

2

．…4分
（2）設平面PAB的一個法向量為

n1

=（x，y，z），
則由

AB • n1 =0 PB • n1 =0

，得

3x=0 3x-4y-3 2 λz=0

，即

x=0 4y+3 2 λz=0

，
令z=1，則y=-

3 2 λ

4

，
所以平面PAB的一個法向量為

n1

=(0，-

3 2 λ

4

，1)，…6分
又平面ABB₁與y軸垂直，所以平面ABB₁的一個法向量為

n2

=(0，1，0)，
因二面角B₁-AB-P的平面角的大小為

π

3

，
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

1

2

=|

- 3 2 λ 4

( 3 2 λ 4 )2+1

|，
結合λ＞0，解得λ=

2 6

9

．…10分．

點評：本題考查線段長的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，是中檔題．