Question

已知數列的前項和滿足：（為常數，且）． 
（1）求的通項公式；
（2）設，若數列為等比數列，求的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，設，數列的前項和為 ,求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查數列的通項公式和數列求和問題，考查學生的計算能力和分析問題的能力以及推理論證的能力.第一問，是由求；第二問，先把第一問的結論代入，整理出表達式，已知為等比數列，所以用數列的前3項的關系列式求；第三問，把第二問的結果代入，化簡表達式，本問應用了放縮法和分組求和的方法.
試題解析：（1）∴
當時，
，即是等比數列． ∴；                4分
（2）由（Ⅰ）知，，若為等比數列，
則有而
故，解得，               7分
再將代入得成立， 所以．               8分
（3）證明：由（Ⅱ）知，所以

，                        9分
由得
所以，               12分
從而
．
即．                        14分求；2.等比數列的通項公式；3.等比中項；4.放縮法；5.分組求和.