Question

設全集U=R，若集合M={y|y=2

2x-x2+3

}，N={x|y=lg

x+3

2-x

}，則（C_UM）∩N=（　　）

A．（-3，2）

B．（-3，0）

C．（-∞，1）∪（4，+∞）

D．（-3，1）

Answer 1

分析：由集合的意義，可得M為函數y=2

2x-x2+3

的值域，N為函數y=lg

x+3

2-x

的定義域；對于M，先求t=2x-x²+3的范圍，
再求得0≤

2x-x2+3

≤2，進而可得y=2

2x-x2+3

的值域，即可得集合M，由補集的定義可得C_UM；對于N，由對數函數的定義域可得集合N，由集合的運算計算可得答案．

解答：解：由集合的意義，可得M為函數y=2

2x-x2+3

的值域，
令t=2x-x²+3，t≥0，
由二次函數的性質可得t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，易得t≤4，
則0≤t≤4，進而可得0≤

2x-x2+3

≤2；
在y=2

2x-x2+3

中，有1≤y≤4；
即M={y|1≤y≤4}，則（C_UM）={y|y＜1或y＞4}；
集合N為函數y=lg

x+3

2-x

的定義域，則

x+3

2-x

＞0，
解可得-3＜x＜2，
即N={x|-3＜x＜2}；
則（C_UM）∩N={x|-3＜x＜1}=（-3，1）；
故選D．

點評：本題借助集合的運算考查指數函數的值域、對數函數的定義域等有關性質，需要熟練掌握指數函數、對數函數的性質．