Question

在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D為線段BC的中點，E、F為線段AC的三等分點（如圖1）．將△ABD沿著AD折起到△AB'D的位置，連接B'C（如圖2）．

（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱錐B'-AD C的體積；
（2）記線段B'C的中點為H，平面B'ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l；
（3）求證：AD⊥B'E．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求三棱錐的體積，關鍵要確定高與底面，由于平面AB'D⊥平面AD C，則可讓△ADC為底，B'到面ADC的距離為高，即要找到過B'點的AD的垂線即可；
（2）此問是要證明線線平行，又知l為平面B'ED與平面HFD的交線，故可證HF∥面B'ED，再用線面平行的性質定理即得證；
（3）要證AD⊥B'E，可用線面垂直的性質定理，即讓AD垂直于B'E所在的其中一個平面即可．
解答：解：（1）在直角△ABC中，D為BC的中點，所以AD=BD=CD．
又∠B=60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點O，連接B'O，∴B'O⊥AD．
∵面AB'D⊥面ADC，面AB'D∩面ADC=AD，B'O?面AB'D，
∴B'O⊥面ADC．
在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D為BC的中點，
∴AC=，B'O=，∴．
∴三棱錐B'-ADC的體積為V=．
（2）∵H為B'C的中點，F為CE的中點，∴HF∥B'E，
又HF?面B'ED，B'E?面B'ED，∴HF∥面B'ED，
∵HF?面HFD，面B'ED∩面HFD=l，∴HF∥l．
（3）由（1）知，B'O⊥AD．∵AE=，，∠DAC=30°，
∴=，
∴AO²+EO²=AE²，∴AD⊥EO
又B'O?面B'EO，EO?面B'EO，B'O∩EO=O，∴AD⊥面B'EO，
又B'E?面B'EO，
∴AD⊥B'E．
點評：本題考查的是立體幾何的平行與垂直的關系和空間體的體積；立體幾何的平行與垂直的問題是高考的常考必考內容，除了要掌握與平行垂直相關的結論外，理科生還要注意掌握用空間向量的方法解決立體幾何中的平行、垂直、空間角的問題．