Question

（本小題滿分12分）
設函數，曲線在點處的切線方程．
（1）求的解析式，并判斷函數的圖像是否為中心對稱圖形？若是，請求其對稱中心；否則說明理由。
（2）證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
(3) 將函數的圖象向左平移一個單位后與拋物線（為非0常數）的圖象有幾個交點？(說明理由)

Answer 1

(1) 的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．
(2) 三角形的面積為定值
(3) 由三次函數的圖象是連續的可知F(x)至少有一零點                           
當時在R上為減函數（減函數至多有一個零點），
所以此時F(x)有且只有一個零點；

試題分析：解：（1），                                      
曲線在點處的切線方程為y=3，
于是                解得或        
因，故．                                       
，滿足,所以是奇函數     
所以，其圖像是以原點(0,0)為中心的中心對稱圖形．                       
而函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，
故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．                        
（2）證明：在曲線上任取一點．  由知，     
過此點的切線方程為．               
令得，切線與直線交點為．                 
令得，切線與直線交點為．
直線與直線的交點為．                                  
從而所圍三角形的面積為．  
所以，所圍三角形的面積為定值．                                        
（3）將函數的圖象向左平移一個單位后得到的函數為,
它與拋物線的交點個數等于方程=的解的個數          
法一：
即 (解的個數,(易知0不是其解，不產生增根)  
即 的零點（與x軸交點的橫坐標）的個數    

由三次函數的圖象是連續的可知F(x)至少有一零點                             11分

當時在R上為減函數（減函數至多有一個零點），
所以此時F(x)有且只有一個零點；
點評：解決的關鍵是能結合導數的幾何意義表示切線方程，進而分析函數的零點個數，需要對于a分類討論得到，屬于中檔題。