Question

已知函數(shù)f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且x＞0時恒有f（x）＞0
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對?x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又x＞0時恒有f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）令m=n=0，則由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0?f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），
由（1）知f（x）為增函數(shù)，所以（k•3^x）+（3^x-9^x-2）＜0，即（k+1）•3^x-9^x-2＜0，也即（k+1）＜3x+

2

3x

，
所以f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對?x∈R恒成立，等價于（k+1）＜3x+

2

3x

恒成立，
又3x+

2

3x

≥2

3x• 2 3x

=2

2

，當且僅當3x=

2

3x

，即x=log3

2

時取得等號，
所以k+1＜2

2

，即k＜2

2

-1，
故實數(shù)k的取值范圍為：k＜2

2

-1．