Question

已知函數f（x）=，
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函數f（x）圖象上的兩點且x₁＜1，x₂＞1，若直線PQ是函數f（x）圖象的切線且P、Q都是切點，求證：3＜x₂＜4；（參考數據：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）設函數g（x）的定義域為D，區間I⊆D，若函數g（x）在I上可導，對任意的x₀∈I，g（x）的圖象在（x₀，g（x₀））處的切線為l，函數g（x）圖象上所有的點都在直線l上方或直線l上，則稱區間I為函數g（x）的“下線區間”．類比上面的定義，請你寫出函數“上線區間”的定義，并根據你所給的定義，判斷區間（-∞，）是否是函數f（x）的“上線區間”（不必證明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）當x≤1時，由f′（x）=-2x+1=0得x=；
當x＞1時，f′（x）=＞0
列表：

∴f（x）的單調增區間為（-∞，），（1，+∞）；
單調減區間為（，1）．
f（x）的極大值為f（）=，極小值為f（1）=0．
（Ⅱ）∵x₁＜1∴f′（x₁）=-2x₁+1
∴直線PQ的方程為y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁）
即y-（-x₁²+x₁）=（-2x₁+1）（x-x₁），y=（-2x₁+1）x+x₁²①
∵x₂＞1∴f′（x₂）=
∴直線PQ的方程為y-f（x₂）=f′（x₂）（x-x₂）
即y-lnx₂=（x-x₂），y=x+lnx₂-1②
∵①②表示同一條直線方程，∴
消去x₁，得[（1-）]²=lnx₂-1，即--4lnx₂+5=0
令φ（x）=--4lnx+5（x＞1），則x₂是φ（x）圖象與x軸交點的橫坐標．
∵當x＞1時，φ′（x）=-
∴φ（x）在（1，+∞）上是減函數
又φ（3）=
φ（4）=
∴3＜x₂＜4
（Ⅲ）設函數g（x）的定義域為D，區間I⊆D，若函數g（x）在I上可導，對任意的x₀∈I，g（x）的圖象在（x₀，g（x₀））處的切線為l，函數g（x）圖象上所有的點都在直線l下方或直線l上，則稱區間I為函數g（x）的“上線區間”，
所以（-∞，）不是函數f（x）的“上線區間”．
分析：（Ⅰ）分別當x小于等于1求出f′（x）=0時x的值，然后利用x的值和x=1分區間討論導函數的正負即可得到函數的單調區間，而當x大于1時得到導函數恒大于0得到函數的增區間，根據函數的增減性得到函數的極值即可；
（Ⅱ）當x₁＜1時求出f′（x₁）即為直線PQ的斜率，根據直線PQ過（x₁，f（x₁））和求出的f′（x₁）值寫出直線PQ的方程①，當x₂＞1時求出f′（x₂）即為直線PQ的斜率，根據直線PQ過（x₂，f（x₂））和求出的f′（x₂）的值寫出直線PQ的方程②，因為兩條直線表示同一條直線，所以聯立①②消去x₁，得到關于x₂的關系式，令φ（x）等于這個關系式，則x₂是φ（x）圖象與x軸交點的橫坐標．當x大于1時求出φ′（x）判斷其值小于0即φ（x）為減函數，因為φ（3）大于0，而φ（4）小于0，所以3＜x₂＜4得證；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知-2x₁+1=∈（，），∴x₁∈（，），再結合f（x）圖象得結論．
點評：本題要求學生會根據導函數的正負得到函數的單調區間以及會根據函數的增減性得到函數的極值，在實際問題中掌握導數所表示的意義，是一道中檔題．