Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）上增函數，增，減；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算的值，得到關于k的方程，解出即可；（2）判斷時，在上是增函數，而不成立，故，又由（1）知的最大值為，由此能確定實數的取值范圍．（3）由（2）知，當k=1時，有在恒成立，且在上是減函數，，即在上恒成立，由此能夠證明不等式成立即可．

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，，

當時，，則在上是增函數；

當時，若，則；若，

則．所以在上是增函數，在上是減函數.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知時，在上是增函數，

而不成立，故，

當時，由（Ⅰ）知 ．要使恒成立，則即可．

故，解得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時有在恒成立，且在上是減函數，，所以在上恒成立.令，則，即，從而，

所以.