Question

若{a_n}是等差數列，首項公差d＜0，a₁＞0，且a₂₀₁₃（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）＜0，則使數列{a_n}的前n項和S_n＞0成立的最大自然數n是（　　）

A．4027

B．4026

C．4025

D．4024

Answer 1

分析：由題意可知數列是遞減數列，由a₂₀₁₃（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）＜0求出公差的范圍，確定出數列{a_n}的前2012項均為正數，從第2013項開始全為負值，然后再由a₂₀₁₃（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）＜0得到a₂₀₁₂+a₂₀₁₃＞0．進一步代入等差數列的前n項和公式得到結論．

解答：解：由題意可得數列{a_n}單調遞減，
由a₂₀₁₃（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）＜0可得：
（a₁+2012d）（2a₁+4023d）＜0，解得-

4023

2

d＜a₁＜-2012d，
故可得a₂₀₁₃=a₁+2012d＜0，a₂₀₁₂=a₁+2011d＞0，
故數列{a_n}的前2012項均為正數，從第2013項開始全為負值，
又a₂₀₁₃（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）＜0，
∴a₂₀₁₂+a₂₀₁₃＞0．
則S₄₀₂₃=4023a₂₀₁₂＜0，S4024=

(a2012+a2013)×4024

2

＞0
故使數列{a_n}的前n項和S_n＞0成立的最大自然數n是4024．
故選D．

點評：本題考查了等差數列的前n項和，考查了對遞減數列的項的符號的判斷，關鍵在于分清從那一項開始為負值，且判出正負相鄰兩項和的符號，是中檔題．