Question

【題目】如圖，，分別是通過某城市開發區中心O的兩條東西和南北走向的街道，連接M，N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓弧．若點M在點O正北方向，且，點N到，的距離分別為5km和4km．

（1）建立適當的坐標系，求鐵路路線所在圓弧的方程．

（2）若該城市的某中學擬在點O正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于km，求該校址距點O的最近距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）校址選在距離O為5km的地方最近

【解析】

(1)由已知得以，為x軸、y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，得出M，N的坐標，鐵路路線所在圓弧所在的圓的圓心既在x軸上，又在直線MN的垂直平分線上，由此可求出圓心的坐標，再利用兩點的距離求出半徑，從而得出鐵路路線所在圓弧的方程.

(2)設出校址的坐標，根據兩點的距離公式列出不等式，再利用(1)小問中求出的圓弧的方程代換掉不等式中的y,得出關于x的不等式，再將所得的不等式設成關于x的一次函數，利用一次函數的單調性列出關于a的不等式，得解.

（1）如圖，分別以，為x軸、y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．則，，故，MN的中點為．

線段MN的垂直平分線方程為．

由于圓心既在線段MN的垂直平分線方程上，又在x軸上，

所以令直線方程中的，得．

故圓心，．圓A的方程為．弧MN的方程為

（2）設校址選在，則對恒成立．整理，得對恒成立．令．

，．

函數在區間上為減函數．

，即，解得，即校址選在距離O為5km的地方最近．

故得解.