Question

如圖所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求異面直線PC與BD所成的角；
（2）在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE？若存在，確定E點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，先求出兩條異面直線的方向向量的夾角，進而即可得出此異面直線所成的角；
（2）假設在線段PB上存在一點E，使PC⊥平面ADE，利用向量共線的充要條件和線面垂直的定理即可求出點E的坐標．

解答：解：（1）如圖所示，分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∴

PC

=(0，2，-2)，

DB

=(2，2，0)，
∴cos＜

DB

，

PC

＞=

DB • PC

| DB | | PC |

=

4

22+22 22+(-2)2

=

1

2

，
∵＜

DB

，

PC

＞∈[0，π]，
∴＜

DB

，

PC

＞=60°，
因此異面直線DB與PC所成的角為60°．
（2）在線段PB上存在一點E為線段PB的中點，使PC⊥平面ADE．
下面給出證明：
假設在線段PB上存在一點E，使PC⊥平面ADE．
如圖所示的坐標系中，A（2，0，0），
∵P、E、B三點共線，∴可設

PE

=λ

PB

，
則

OE

=

OP

+λ

PB

=（0，0，2）+λ（2，2，-2）=（2λ，2λ，2-2λ），即E（2λ，2λ，2-2λ）．
∵

PC

•

AD

=0，∴

PC

⊥

AD

，
又PC⊥DE，∴

PC

•

DE

=0，即0+2×2λ-2×（2-2λ）=0，解得λ=

1

2

，
∴E（1，1，1）．
即點E為線段PB的中點．

點評：熟練掌握：通過建立空間直角坐標系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角；及利用向量共線的充要條件和線面垂直的定理證明是否滿足條件的點存在．