Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），a₁=1，a₂=3，記S_n=a₁+a₂+…+a_n，則下列結論正確的是（　　）

A．a₁₀₀=-1，S₁₀₀=5

B．a₁₀₀=-3，S₁₀₀=5

C．a₁₀₀=-3，S₁₀₀=2

D．a₁₀₀=-1，S₁₀₀=2

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2）可推得該數列的周期為6，易求該數列的前6項，由此可求得答案．

解答：解：由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），得
a_n+6=a_n+5-a_n+4=a_n+4-a_n+3-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n-a_n+1）=a_n，
所以6為數列{a_n}的周期，
又a₃=a₂-a₁=3-1=2，a₄=a₃-a₂=2-3=-1，a₅=a₄-a₃=-1-2=-3，a₆=a₅-a₄=-3-（-1）=-2，
所以a₁₀₀=a₉₆₊₄=a₄=-1，
S₁₀₀=16（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂+a₃+a₄=16×0+1+3+2-1=5，
故選A．

點評：本題考查數列遞推式、數列求和，考查學生分析解決問題的能力．