Question

（本小題14分）

如圖4，正方體中，點E在棱CD上。

（1）求證：；

（2）若E是CD中點，求與平面所成的角；

（3）設M在上，且，是否存在點E，使平面⊥平面，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（本小題14分）

解：以D為坐標原點，DA，DC，依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標系，并設正方體棱長為1,設點E的坐標為。                  ………2分

（1），

∵  ，

∴  。                                               ………5分

（2）當E是CD中點時，

，，設平面的一個法向量是，

則由得一組解是，………7分

又，由，

從而直線與平面所成的角的正弦值是。       ………9分

（3）設存在符合題意的E點為E(0,t,0)

可得平面的一個法向量是，

平面的一個法向量是 …11分

∵  平面⊥平面，

∴  ，

解得或（舍），                                    ………13分

故當點E是CD的中點時，平面⊥平面，       ………14分