Question

設(shè)平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

2

，

1

2

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)f（a）=

9

5

，且

π

6

＜a＜

2π

3

時(shí)，求sin（2a+

2π

3

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的二倍角公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：依題意f（x）=

a

•

b

+1=（cosx，sinx）•（

3

2

，

1

2

）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1=sin（x+

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵sin（x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴sin（x+

π

3

）+1∈[0，2]，
即函數(shù)f（x）的值域是[0，2]．
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=

9

5

得sin（a+

π

3

）+1=

9

5

，得sin（a+

π

3

）=

4

5

，
∵

π

6

＜a＜

2π

3

，
∴

π

2

＜a+

π

3

＜π，
得cos（a+

π

3

）=-

3

5

，
∴sin（2a+

2π

3

）=sin2（a+

π

3

）=2sin（a+

π

3

）cos（a+

π

3

）=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握三角函數(shù)的公式．