Question

（2014•蘭州一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F_l，F₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（3，4），則此雙曲線的方程為（　　）

• A．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

分析：根據題意，點（3，4）到原點的距離等于半焦距，可得a²+b²=25．由點（3，4）在雙曲線的漸近線上，得到

b

a

=

4

3

，兩式聯解得出a=3且b=4，即可得到所求雙曲線的方程．

解答：解：∵點（3，4）在以|F₁F₂|為直徑的圓上，
∴c=

32+42

=5，可得a²+b²=25…①
又∵點（3，4）在雙曲線的漸近線y=

b

a

x上，
∴

b

a

=

4

3

…②，
①②聯解，得a=3且b=4，可得雙曲線的方程

x2

9

-

y2

16

=1
故選：C

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程，考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．