Question

如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側面都是矩形，E是CD的中點，，
.
（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質，得；第二問，利用和中的邊長和角的關系，得到，由于，所以平面，所以利用線面垂直的性質得，利用線面垂直的判定得平面，由于平面平行平面，所以得到平面，所以是三棱錐的高，最后利用三棱錐的體積公式計算.
（1）證明：∵底面和側面是矩形，
∴，
又∵
∴平面   3分
∵平面∴ ．                                              6分
（2）解法一：
， ，
∴△為等腰直角三角形，∴
連結，則，且                
由（1）平面，∴平面
∴
∴平面
∴平面                                                                9分
∴．                             12分
解法二：
∵,且
∴在△中，，，得                          9分
∴三棱錐的體積：
． 12分