Question

（2012•威海二模）在等比數(shù)列{a_n}中，a2=

1

4

，a3•a6=

1

512

．設(shè)bn=log2

a

2 n

2•log2

a

2 n+1

2，

T

n

為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，不等式λTn＜n-2(-1)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）分類討論：①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由λT_n＜n-2恒成立得λ＜(2n-

2

n

-3)min；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由λT_n＜n+2恒成立得λ＜(2n+

2

n

+5)min，由此可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公比為q，由a3a6=a22•q5=

1

16

q5=

1

512

得q=

1

2

，
∴an=a2•qn-2=(

1

2

)n．----------------------------------（2分）

bn=log2 a 2 n 2•log2 a 2 n+1 2=log( 1 2 )2n-12•lo g 2n+1 _( 1 2 )

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．----（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由λT_n＜n-2恒成立得，λ＜

(n-2)(2n+1)

n

=2n-

2

n

-3恒成立，
即λ＜(2n-

2

n

-3)min，----------------------------------（6分）
而2n-

2

n

-3隨n的增大而增大，∴n=2時(shí)(2n-

2

n

-3)min=0，
∴λ＜0；----------------------------------（8分）
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由λT_n＜n+2恒成立得，λ＜

(n+2)(2n+1)

n

=2n+

2

n

+5恒成立，
即λ＜(2n+

2

n

+5)min，-----------------------------------（9分）
而2n+

2

n

+5≥2

2n• 2 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)2n=

2

n

⇒n=1等號(hào)成立，
∴λ＜9．---------------------------------------（11分）
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍（-∞，0）．----------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查求最值，屬于中檔題．