Question

(本小題滿分12分）已知函數（e為自然對數的底數).

(I )若函數有極值，求實數a的取值范圍；

(II)若，求證：當x>0時，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 由，可得，………………….2分

依題意，需方程在上有兩個不等實根，

則：，…………………4分

解得： .           ……………………5分

(Ⅱ)若，   ,  

∴，

設，                         

，

,         ………………………7分

令 , 得.

當時，  ， 單調遞減；

當時，  ， 單調遞增；

∴  ,                  

∴  ,…………………9分

∵，∴ ，

∴在上單調遞增，    ∵， 

∴ ，                        ……………………………11分

∵ ， ∴   ，

∴， 

即   .                               ……………………12分

【解析】(I)連續函數有極值，說明的方程有根。并且根兩側的導數值異號。根據這一點確定a的取值范圍。

(II)把要證的不等式轉化為:當x>0時，恒成立的問題。然后根據條件再構造函數求最值進行求證。