Question

已知F₁、F₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點，點P是雙曲線C上的動點，若PF₁=2PF₂，∠F₁PF₂=60°，則雙曲線C的離心率為

3

．

Answer 1

分析：根據題設條件，利用余弦定理能夠求出|PF|=

2 3

3

c，再由雙曲線定義可以推導出c=

3

a，從而求出該雙曲線的離心率．

解答：解：設|PF₁|=2x，|PF₂|=x，|F₁F₂|=2c，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴cos60°=

(2x)2+x2-(2c)2

2•2x•x

=

1

2

⇒x=

2 3

3

c；
∴|PF₁|=2×

2 3

3

c；|PF₂|=

2 3

3

c；
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∴c=

3

a．
∴e=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題主要考察栓曲線的基本性質，借助余弦定理解決圓錐曲線問題是解決高考試題的一種常規方法．