Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）
（1）若方程f（x）=0無實(shí)根，求證：b＞0；
（2）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，求證：f（-a）=

1

4

（a²-1）．

Answer 1

分析：（1）只需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根的問題即可解答．
（2）充分利用函數(shù)與方程的思想，在對應(yīng)方程當(dāng)中利用韋達(dá)定理即可解答．

解答：解：（1）若方程f（x）=0無實(shí)根，則△=a²-4b＜0，b＞

a2

4

，∴b＞0．
（2）證明：設(shè)f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則由一元二次方程個(gè)與系數(shù)的關(guān)系可得 2m+1=-a，m（m+1）=b，故b=

1

4

（a2-1），
所以f（-a）=b=

1

4

（a2-1）．

點(diǎn)評：此題考查了零點(diǎn)概念、代數(shù)恒等變形、含參數(shù)的二次函數(shù)等知識，是對二次函數(shù)性質(zhì)比較綜合和深刻的考查．在解答過程當(dāng)中問題轉(zhuǎn)化的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想得到了淋漓盡致的考查，值得同學(xué)們體會(huì)反思，屬于中檔題．