Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面PBC⊥底面ABCD，點M在AB上，且AM：MB=1：2，E為PB的中點．

（1）求證：CE∥平面ADP；
（2）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一點N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取棱AP中點F，連接DF，EF．

∵EF為△PAB的中位線，∴EF∥AB，且

∵CD∥AB，且 ，∴EF∥CD，且EF=CD，

∴四邊形EFDC為平行四邊形，∴CE∥DF

∵DF平面ADP，CE平面ADP，

∴CE∥平面ADP

（2）證明：由（1）可得CE∥DF

∵PC=BC，E為PB的中點，∴CE⊥PB

∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD

∴AB⊥平面PBC

又∵CE平面PBC，

∴AB⊥CE

又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB平面PBC，

∴CE⊥平面PAB

∵CN∥DF，

∴DF⊥平面PAB

又∵DF平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PAB

（3）解：存在， ．

證明：取BC中點O，連結AO交MD于Q，連結NQ，

在平面ABCD中由平幾得 ，∴ ∥OP．

∵O為等腰△PBC底邊上的中點，∴PO⊥BC，

∵PBC⊥底面ABCD，PO平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，

∵NQ平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．

【解析】（1）取棱AP中點F，連接DF，EF，證明四邊形EFDC為平行四邊形，可得CE∥DF，即可證明CE∥平面ADP；（2）證明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可證明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在， ．取BC中點O，連結AO交MD于Q，連結NQ，證明NQ⊥平面ABCD，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．