Question

在函數(shù)概念的發(fā)展過程中，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805--1859）功不可沒．19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”：y=f(x)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù).

，這個函數(shù)后來被稱為狄利克雷函數(shù)．下面對此函數(shù)性質(zhì)的描述中不正確的是（　　）

A．它是偶函數(shù)

B．它是周期函數(shù)，且沒有最小正周期

C．它沒有單調(diào)性

D．它有函數(shù)圖象

Answer 1

分析：A．B．通過分類討論和利用偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義可判斷出其正誤；C．D．利用實數(shù)的稠密性及單調(diào)性的定義可以判斷出其正誤．

解答：解：A．若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，∴f（-x）=f（x）=1；若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，∴f（-x）=f（x）=0，故A正確；
B．若x是有理數(shù)，T是非零的有理數(shù)，則x+T仍是有理數(shù)，故f（x+T）=f（x）=1；設(shè)x是無理數(shù)，T是非零的有理數(shù)，則x+T是無理數(shù)，
因此f（x+T）=f（x）=0，由于沒有最小的正有理數(shù)，故沒有最小正周期，由上可知B是真命題；
C．由于實數(shù)的稠密性，任意兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，兩個無理數(shù)之間也都有有理數(shù)，其函數(shù)值在1與0之間無間隙轉(zhuǎn)換，故它沒有單調(diào)性；
D．由于實數(shù)的稠密性，任意兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，兩個無理數(shù)之間也都有有理數(shù)，故無法畫出它的圖象．
故選D．

點評：本題綜合考查了狄氏函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性及圖象等性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解決問題的關(guān)鍵．