Question

如果一個函數(shù)的定義域是值域的真子集，那么稱這個函數(shù)為“思法”函數(shù)．
（1）判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是否為思法函數(shù)，并簡述理由；
（2）判斷冪函數(shù)y=x^α（α∈Q）是否為思法函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）已知是思法函數(shù)，且不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）對所有的f_t（x）都成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域（0，+∞）．
∴指數(shù)函數(shù)不是思法函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域R，
故對數(shù)函數(shù)是思法函數(shù)．
（2）冪函數(shù)y=x^α（α∈Q）不是思法函數(shù)．證明如下：
1）當(dāng)α=0時，顯然y=x⁰不是思法函數(shù)；
2）當(dāng)α＞0時，設(shè)（其中m，n是互質(zhì)的正整數(shù)）．
①若n為偶數(shù)，則m為奇數(shù)，定義域和值域都是[0，+∞），不是思法函數(shù)；
②若n為奇數(shù)，當(dāng)m為奇數(shù)時，定義域和值域都是R，不是思法函數(shù)；
當(dāng)m為偶數(shù)時，定義域R，值域是[0，+∞），不是思法函數(shù)．
3）當(dāng)α＜0時，設(shè)（其中m，n是互質(zhì)的正整數(shù)）
①若n為偶數(shù)，則m為奇數(shù)，定義域和值域都是（0，+∞），不是思法函數(shù)；
②若n為奇數(shù)，當(dāng)m為奇數(shù)時，定義域和值域都是（-∞，0）∪（0，+∞），不是思法函數(shù)；
當(dāng)m為偶數(shù)時，定義域（-∞，0）∪（0，+∞），值域是（0，+∞），不是思法函數(shù)．
綜上所述；冪函數(shù)y=x^α（α∈Q）不是思法函數(shù)．
（3）令y=lnu，u=x²+2x+t．則u=（x+1）²+t-1
①當(dāng)△=4-4t＜0，即t＞1時，恒有u≥t-1＞0．
故f_t（x）的定義域為R，值域為[ln（t-1），+∞），f_t（x）不是思法函數(shù)；
②當(dāng)△=4-4t≥0，即t≤1時，u=x²+2x+t能取（0，+∞）中的一切值，
故f_t（x）的值域為R．定義域不是R，f_t（x）是思法函數(shù)．
因此，f_t（x）是思法函數(shù)?t∈（-∞，1]．
又，
令，則k≥g（t）_max．
∵在（-∞，1]上是增函數(shù)，
故．
所以．
分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合思法函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)冪函數(shù)y=x^α（α∈Q）的圖象和性質(zhì)，分別討論α=0，α＞0和α＜0三種情況下，函數(shù)的定義域和值域，結(jié)合思法函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（3）根據(jù)是思法函數(shù)，令y=lnu，u=x²+2x+t．結(jié)合思法函數(shù)的定義及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）對所有的f_t（x）都成立，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，可得實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的定義域，值域，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．