Question

設p為常數，函數f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數．
（1）求p的值；（2）設，求x₀的值；
（3）若f（x）＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若函數的解析式有意義，
則函數f（x）的定義域為（-1，1）
因為f（x）是奇函數，
所以f（x）+f（-x）=0對x∈（-1，1）恒成立，
log₂（1-x）+plog₂（1+x）+log₂（1+x）+plog₂（1-x）=0對x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0對x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）log₂（1-x²）=0對x∈（-1，1）恒成立，
故p+1=0
所以p=-1．
（2）由（1）可得f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
則=log₂（1-）-log₂（1+）+log₂（1-）-log₂（1+）
=log₂（）-log₂（）+log₂（）-log₂（）
=log₂（÷×÷）=log₂（）
f（x₀）=log₂（1-x₀）-log₂（1+x₀）=log₂（），
故=
解方程得
（3）f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
則f（x）＞2等價于，
解得：，
所以x的取值范圍是．
分析：（1）求出函數的定義域，根據函數是奇函數，f（x）+f（-x）=0對x∈（-1，1）恒成立，可構造關于p的方程，進而求出p的值；
（2）根據（1）可得函數f（x）的解析式，進而根據關于x₀的方程，解方程可得x₀的值；
（3）根據（1）可得函數f（x）的解析式，構造關于x的不等式，解不等式可得x的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，函數奇偶性的性質，對數的運算性質，其中根據已知求出函數f（x）的解析式是解答本題的關鍵．