Question

已知點F(1，0)，直線l:x=2.設動點P到直線l的距離為d,且|PF|=d,≤d≤.
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)若·=，求向量與的夾角.

Answer 1

(1) 軌跡方程為+y²=1(≤x≤).
(2)θ=arccos

(1)根據橢圓的第二定義知，點P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,∴a=.
e===滿足|PF|=d.
∴P點的軌跡為+=1.
又d=－x,且≤d≤,
∴≤2－x≤.∴≤x≤.
∴軌跡方程為+y²=1(≤x≤).
(2)由(1)可知，P點的軌跡方程為+y²=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x₀,y₀).
=(1,0),=(x₀,y₀),=(1－x₀,－y₀).
∵·=,∴1－x₀=.
∴x₀=,y₀=±.
又·=||·||·cosθ,
∴1·x₀+0·y₀=·1·cosθ.
∴cosθ====.
∴θ=arccos.