Question

已知函數f（x）=
（1）判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性并加以證明；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）如果關于x的方程f（x）=kx³有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用單調函數的定義證明函數的單調性設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）單調遞增．
（2）當x≥0時利用分式的性質求值域因為0≤x＜x+2∴，即0≤f（x）＜1；
（3）當x=0時，f（x）=kx³，∴x=0為方程的解．當x＞0時，∴，當x＜0時，∴，即得到函數g（x）=，與函數h（x）=圖象有兩個交點時k的取值范圍，應用導數畫出g（x）的大致圖象，可得k的范圍．
解答：解：（1）設0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增．
（2）當x≥0時，f（x）=，
又，
∴，即0≤f（x）＜1；
當x＜0（x≠-2）時，f（x）=，
∴，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域為（-∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）當x=0時，f（x）=kx³，
∴x=0為方程的解．
當x＞0時，，∴kx²（x+2）=1，∴，
當x＜0時，，∴kx²（x+2）=-1，∴，
即看函數g（x）=
與函數h（x）=圖象有兩個交點時k的取值范圍，應用導數畫出g（x）的大致圖象，
∴，
∴k＜．
點評：本題主要考查利用單調函數的定義證明函數的單調性，利用反函數與導數求函數的值域，解決此類問題的方法是熟悉單調函數的定義與求值域的方法．