Question

（本題滿分14分）已知函數
（1）判斷的奇偶性并證明；
（2）若的定義域為[]()，判斷在定義域上的增減性，并加以證明；
（3）若，使的值域為[]的定義域區間[]()是否存在？若存在，求出[]，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）為奇函數
（2）略
（3）不存在

解：(1)由得的定義域為，關于原點對稱。
 
為奇函數                    ………………………………3分
（2）的定義域為[]()，則[]。設，[]，則，且，，=      。。。。。。 5分
，即，   。。。。。。。。。。。6分
∴當時，，即； 。。。。。。。。。7分
當時，，即， 。。。。。。。。。。8分
故當時，為減函數；時，為增函數。                     ………………………………9分
（3）由（1）得，當時，在[]為遞減函數，∴若存在定義域[]()，使值域為[]，則有 ……………………12分
∴  ∴是方程的兩個解……………………13分
解得當時，[]=，
當時，方程組無解，即[]不存在。                ………………………14分