Question

（2008•江蘇二模）已知數列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差數列．
（Ⅰ）設b_n=（n+1）a_n-n+2，求證：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）（僅理科做） 若a_n-b_n≤kn對一切n∈N*恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，由b₁=2a₁-1+2=-1，知

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，由此能夠證明數列{b_n}是等比數列．
（Ⅱ）由bn=-(

1

2

)n-1，知(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，知k ≥ 

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．設cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，則c_n 隨著n的增大而減小，dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，所以n≥5時，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，n≥5時，e_n隨著n的增大而減小． 由此能求出實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）證明：(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分）

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，
∴數列{b_n}是等比數列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=-(

1

2

)n-1，即(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．
∴an=-

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，
∴a_n-b_n≤kn，即k ≥ 

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．
設cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，
則c_n 隨著n的增大而減小，…8分
∵dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，
∴n≥5時，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，…10分
則n≥5時，e_n隨著n的增大而減小． …
∵c₁=

1

2

，c₂=

1

6

，c₃=

1

16

，c₄=

1

40

，c₅=

1

96

，
d₁=-

1

2

，d₂=0，d₃=

1

12

，d₄=

1

10

，d₅=

1

10

，
∴e₁=0，e₂=

1

6

，e₃=

7

48

，e₄=

1

8

，e₅=

53

480

．
則e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=

1

6

最大．
∴實數k的取值范圍k≥

1

6

． …13分．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．