Question

（2013•江蘇一模）（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知直線l的參數方程

x=2-t y=1+ 3 t

（t為參數），圓C的極坐標方程：ρ+2sinθ=0．
（1）將直線l的參數方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）在圓C上求一點P，使得點P到直線l的距離最小．

Answer 1

分析：（1）將直線l的參數方程的參數t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標轉化成直角坐標的轉換公式求出圓的直角坐標方程；
（2）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C任意點P的坐標為（cosθ，-1+sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數，即可確定出所求點P的坐標．

解答：解：（1）消去參數t，得直線l的普通方程為y=-

3

x+1+2

3

，
ρ+2sinθ=0，兩邊同乘以ρ得ρ²+2ρsinθ=0，
得⊙C的直角坐標方程為x²+（y+1）²=1；
（2）設所求的點為P（cosθ，-1+sinθ），
則P到直線l的距離d=

| 3 cosθ+sinθ-2-2 3 |

1+3

=

|2sin(θ+ π 3 )-2-2 3 |

2

=

2+2 3 -2sin(θ+ π 3 )

2

，
當θ=

π

6

+2kπ，k∈Z，sin（θ+

π

3

）=1，d取得最小值

3

，
此時點P的坐標為（

3

2

，-

1

2

）．

點評：本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程，以及直線的參數方程和直線與圓的位置關系的判定，屬于基礎題．