Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1=1（a＞b＞0），點P為其上一點，F₁、F₂為橢圓的焦點，∠F₁PF₂的外角平分線為l，點F₂關于l的對稱點為Q，F₂Q交l于點R．
（1）當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+

2

a）與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于∠F₁PF₂的外角平分線為l，點F₂關于l的對稱點為Q，F₂Q交l于點R．所以|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，即點Q的軌跡是圓，從而可求R形成的軌跡方程；
（2）先將△AOB的面積表示為S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB，從而當∠AOB=90°時，S_△AOB最大值為

1

2

a²．  
故可求k的值．

解答：解：（1）∵點F₂關于l的對稱點為Q，連接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|
又因為l為∠F₁PF₂外角的平分線，故點F₁、P、Q在同一直線上，設存在R（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，則（x₁+c）²+y₁²=（2a）²．
又x₁=2x₀-c，y₁=2y₀．
∴（2x₀）²+（2y₀）²=（2a）²，∴x₀²+y₀²=a²．
故R的軌跡方程為：x²+y²=a²（y≠0）
（2）∵S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB
當∠AOB=90°時，S_△AOB最大值為

1

2

a²．  
此時弦心距|OC|=

2 ak

1+k2

．
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

OC

OA

=  

2 ak

a 1+k2

=cos450=

2

2

，∴k=±

3

3

點評：若動點M（x，y）依賴已知曲線上的動點N而運動，則可將轉化后的動點N的坐標入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動點M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個或兩個以上動點的情況．