Question

【題目】設(shè)G為△ABC的重心，過(guò)G作直線l分別交線段AB，AC（不與端點(diǎn)重合）于P，Q．若 =λ ， =μ
（1）求 + 的值；
（2）求λμ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于M，則M是BC的中點(diǎn)，則 ， ．

又 ， ，

∴ = ， =（ ） + ．

∵P，G，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)t，使 =t ，即（ ） + = ．

∴ ，兩式相除消去t得1﹣3λ=﹣ ，即 ．

（2）解：∵1﹣3λ=﹣ ，∴ ，

∵λ，μ∈（0，1），∴ ，解得 ．∴ ．

∴λμ= = ．

∴當(dāng) 時(shí)，λμ取得最小值 ，當(dāng) 或2時(shí)，λμ取得最大值 ．

∴λμ的取值范圍是[ ， ）．

【解析】（1）使用 表示出 ，根據(jù)P，Q，G三點(diǎn)共線得出λ，μ的關(guān)系；（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范圍，則λμ可表示為關(guān)于λ的函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面向量的基本定理及其意義的相關(guān)知識(shí)，掌握如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使．