Question

已知函數 ．若對任意的實數x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實數k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：函數 的解析式可化為f（x）=，令t=，（t≥3），則f（x）=y=1+，結合反比例函數的單調性，分類討論函數的單調性，并分析出函數的值域，構造關于k的不等式，求出各種情況下實數k的取值范圍，最后綜合討論結果，可得實數k的取值范圍．
解答：解：∵函數 =
令t=，（t≥3）
則f（x）=y=1+
若k-1＜0，即k＜1，函數y=1+在[3，+∞）上為增函數
此時的函數f（x）=y值域為[1+，1）
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則2（1+）≥1，就可以滿足條件
解得＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）顯然成立
若k-1＞0，即k＞1
函數y=1+在[3，+∞）上為減函數
此時的函數f（x）=y值域為（1，1+]
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則1+1≥1+，
解得1＜k≤4
綜上所述：≤4
故答案為：≤4
點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，指數函數的性質，反比例函數的圖象和性質，其中利用換元思想及基本不等式將函數的解析式化為f（x）=y=1+，是解答的關鍵．