Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，點E、F分別為AB和PD的中點．
（1）求證：直線AF∥平面PEC；
（2）求平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PC中點Q，連接EQ，FQ，

∵點E、F分別為AB和PD的中點，底面ABCD為菱形，

∴FQ =AE，∴FQ AE，

∴四邊形AEQF是平行四邊形，

∴AF∥EQ，

∵AF平面PEC，EQ平面PEC，

∴由線面平行的判定定理得直線AF∥平面PEC

（2）解：以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

P（0，0，4），E（2 ，0，0），C（0，4，0），

=（2 ，0，﹣4）， =（﹣2 ，4，0），

設平面PEC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，得 =（2， , ），

∴面PEC的法向量

同理得面PAD的法向量 ，

設所求二面角為α，則 ，

∴ ．

故平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值為 ．

【解析】（1）取PC中點Q，連接EQ，FQ，推導出四邊形AEQF是平行四邊形，從而AF∥EQ，由此能證明直線AF∥平面PEC．（2）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．