Question

（2009•盧灣區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)H（-3，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸上，其橫坐標(biāo)不小于零，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：

x2

2

+y2=1，并將（2）中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F（1，0），求與（2）相類似的問題的解．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用題意向量的關(guān)系，求得x和y的關(guān)系，進(jìn)而求得M的軌跡C．
（2）將直線l與l'的方程與軌跡C的方程聯(lián)立，分別求弦長，從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S，再利用基本不等式求最小值；
（3）將直線l與l'的方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別求弦長，從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S，再利用基本不等式求最小值；

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由題設(shè)

PM

=-

3

2

MQ

，得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

其中a≥0，從而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，且x≥0，
又由已知

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，
當(dāng)b≠0時(shí)，y≠0，此時(shí)kHP=

b

3

，得kPM=-

3

b

，
又k_PM=k_PQ，故-

b

a

=-

3

b

，a=

b2

3

，
即

1

3

x=

1

3

(-

1

2

y)2，y²=4x（x≠0），
當(dāng)b=0時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)，HP為x軸，PM為y軸，點(diǎn)Q也為原點(diǎn)，從而點(diǎn)M也為原點(diǎn)，因此點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線；                                    （4分）
（2）由題設(shè)，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），又設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
則S=

1

2

|AB|•|DE|=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立，因此四邊形ADBE面積S的最小值為32．
（9分）
（3）當(dāng)k≠0時(shí)可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，（13分）S=

4(1+k2)2

(1+2k2)(k2+2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)等號(hào)成立．（17分）
當(dāng)k=0時(shí)，易知|AB|=2

2

，|DE|=

2

，得S=2＞

16

9

，
故當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)四邊形ADBE面積S有最小值

16

9

．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，主要考查了橢圓的應(yīng)用，向量的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查利用基本不等式求最值問題．