Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②指數函數f（x）=2^x（x∈R）是單函數；
③若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數．
⑤f（x）=|2^x-1|是單函數．
其中的真命題是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．②③⑤

Answer 1

分析：利用單函數的定義當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，分別對五個命題進行判斷，可以得出正確結論．

解答：解：①對于函數f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x12=x22，∴x₁=±x₂，所以①不是單函數，①錯誤；
②對于函數f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）得2x1=2x2，∴x₁=x₂，所以②是單函數，②正確；
③對于f（x）為單函數，則f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正確的；
④若函數f（x）是單調函數，則滿足f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，所以④是單函數，④正確；
⑤對于函數f（x）=|2^x-1|，當f（x₁）=f（x₂）時，|2x1-1|=|2x2-1|，∴x₁=x₂或2x1+2x2=1，∴x₁與x₂不一定相等．所以⑤不是單函數，⑤錯誤．
故選：B．

點評：本題考查了函數性質的推導與判斷，考查學生分析問題解決問題的能力，有一定的綜合性．