Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓的右準線上的點，滿足線段的中垂線過點，直線：為動直線，且直線與橢圓交于不同的兩點、。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若在橢圓上存在點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當取何值時，的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，半焦距為，依題意有

 解得　　　  　．

所求橢圓方程為．        　　

（Ⅱ）由，得．

設點、的坐標分別為、，則

．

（1）當時，點、關于原點對稱，則．

（2）當時，點、不關于原點對稱，則，

由，得       即

點在橢圓上，有，

化簡，得．

，有．………………①      

又，

由，得．……………………………②　　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是．

（Ⅲ），點到直線的距離，

的面積

                ．    

由①有，代入上式并化簡，得．

，．     

當且僅當，即時，等號成立．

當時，的面積最大，最大值為．