Question

已知a∈R，
命題p：實系數一元二次方程x²+ax+2=0無實根；
命題q：存在點（x，y）同時滿足x²+y²=4且（x+a）²+y²=1．
試判斷：命題p是命題q的什么條件（充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要條件）？請說明你的理由．

Answer 1

分析：若命題p為真，由△＜0可求得a的范圍；若命題q為真，由二圓的圖象可求得a的范圍，從而可得集合A，B，可判斷命題p是命題q的什么條件．

解答：解：若命題p為真，可得△=a²-8＜0⇒a∈（-2

2

，2

2

）（4分）
若命題q為真，由圖可知圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有交點，

a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合A=（-2

2

，2

2

），集合B=[-3，-1]∪[1，3]，（9分）
可知集合A和集合B之間互不包含，于是命題p是命題q的既不充分也不必要條件．（12分）

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，求得命題p與命題q正確時對應的a的范圍構成集合是判斷的關鍵，屬于中檔題．