Question

設f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，若f（3）=5，且當x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0時，不等式恒成立，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：構造函數g（x）=xf（x），確定函數g（x）在x∈（0，+∞）上為單調遞增函數，且函數為偶函數，求出不等式的解集，即可得到結論．
解答：解：構造函數g（x）=xf（x），
因為當x＞0時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
所以函數g（x）在x∈（0，+∞）上為單調遞增函數；
所以不等式等價于|xf（x）|＞15，即g（x）＞15或g（x）＜-15
當x＞3時，g（x）＞g（3）=3f（3）=3×5=15
又g（x）＞g（0）=0，所以g（x）＜-15這種情況不存在，不考慮
因為f（x）是奇函數，所以f（-x）=-f（x）
所以g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），所以g（x）是偶函數
故xf（x）＞15的解集為x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）
要使x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0時，不等式恒成立，只需a≥3
故答案為：a≥3
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的奇偶性，考查解不等式，屬于中檔題．