Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成的角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并求出EF到平面PAC的距離；
（2）命題：“不論點E在邊BC上何處，都有PE⊥AF”，是否成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設中的條件E，F為中點可得EF∥PC，由此可判斷出EF與平面PAC的位置關系是平行，再根據體積相等即可求出EF到平面PAC的距離；
（2）由題設條件及圖形可得出AF⊥平面PBE，由線面垂直的定義可得出無論點E在邊BC的何處兩線都垂直．

解答：解：（1）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC
∴EF∥平面PAC．
所以：點E到平面PAC的距離和EF到平面PAC的距離相等．
∵PD與平面ABCD所成的角是30°，
∴PD=

3

，AC=2．
設E到平面PAC的距離為h．
∵V_E-PAC=v_P-AEC⇒

1

3

•h•S_△PAC=

1

3

•PA•S_△AEC⇒h=

PA•S△AEC

S△PAC

=

PA× 1 4 ×SABCD

1 2 ×PA•AC

=

3

8

．
所以：EF到平面PAC的距離為：

3

8

．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
即不論點E在邊BC上何處，都有PE⊥AF成立．
即命題成立．

點評：本題中涉及到點、線、面間的距離計算．一般在求點到面的距離當垂線直接不好求時，常用體積相等來求．