Question

如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點A，一動點P自切點A沿直線l向右移動時，取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點M．又知當AP=時，點P的速度為v，求這時點M的速度．

Answer 1

【答案】分析：設AP的長為x，AM的長為y，用x表示y，并用復合函數求導法則對時間t進行求導．
解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由題意弧AC的長為，半徑OC=1，可知θ=，考慮θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴．
∵DM=y-（1-cos），DC=sin，∴
∴．
上式兩邊對時間t進行求導，則y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=
當時，x′_t=v，代入上式得點M的速度．
點評：本題是難度較大題目，考查了弦長、弧度、相似、特別是復合函數的導數，以及導數的幾何意義；
同時也考查了邏輯思維能力和計算能力．