Question

已知定義在上的函數，最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為，函數圖象所有對稱中心都在圖象的對稱軸上.
（1）求的表達式；
（2）若，求的值；
（3）設，，，若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）由已知中已知定義在R上的函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，我們易計算出A值，及最小正周期，進而求出ω值，再由函數圖象所有的對稱中心都在y=f（x）圖象的對稱軸上，求出φ值，即可得到f（x）的表達式；
（2）由，結合（1）中所求的函數解析式，可得，
進而求出的值，然后根據兩角差的余弦公式，即可求出答案．
（3）由 ,恒成立，可以轉化為函數恒成立問題，構造函數，求出其最值，即可得到答案．
解：(1)依題意可知：，
與f(x)相差，即相差，
所以或
（舍），
故.                 ……………………4分
（2）因為，即，
因為，又，y=cosx在單調遞增，
所以，所以，
于是
 ………9分
（3）因為，，
，
于是，得對于恒成立，
因為，故.        ………………14分