Question

已知函數f(x)=x³+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的導函數.

(1)對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求實數x的取值范圍；

(2)設a=-m²，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f(x)的圖象與直線y=3只有一個公共點.

Answer 1

解：(1)由題意,g(x)=3x²-ax+3a-5.

    令φ(a)=(3-x)a+3x²-5,-1≤a≤1.

    對-1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即有φ(a)＜0.

∴

    即

    解得-＜x＜1.

    故x∈(-,1)時，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.

(2)f′(x)=3x²-3m².

①當m=0時，f′(x)=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點；

②當m≠0時，

    列表：

x	(-∞,-|m|)	-|m|	(-|m|,|m|)	|m|	(|m|,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(x)_極小=f(|m|)=-2m²|m|-1＜-1.

    又因為f(x)的值域是R，且在(|m|,+∞)上單調遞增，所以當x＞|m|時，函數y=f(x)的圖象與直線y=3只有一個公共點.

    當x＜|m|時，恒有f(x)≤f(-|m|).

    由題意得，f(-|m|)＜3,

    即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3.

    解得m∈(-,0)∪(0,).

    綜上，m的取值范圍是(-,).