Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）是否存在實數，使恒成立，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）(1)的單調增區間為和,單調減區間為 
(2)當時, ,的單調增區間為 
（Ⅱ）時，使恒成立.

(1)先求出,根據定義域,然后討論對a進行討論確定單調區間。
（2）解本題的關鍵是恒成立可轉化為恒成立，
令，則只需在恒成立即可.然后再利用導數研究其最值，問題得解。
解：（Ⅰ）函數的定義域為，
…………………………2分
(1)當時，由得，或，由得， 
故函數的單調增區間為和,單調減區間為…………4分
(2)當時, ,的單調增區間為…………………………5分
（Ⅱ）恒成立可轉化為恒成立，
令，則只需在恒成立即可，………6分

當時，在時，，在時，
的最小值為，由得，
故當時恒成立，          ……………………………………9分
當時，，在不能恒成立，……………11分
當時，取 有 在不能恒成立，…13分
綜上所述當時，使恒成立.           ………………………14分