Question

如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中點．
（1）求證：EF||平面PBC；
（2）求E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面PBC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PBC內一直線平行，而EF∥PB，又EF?平面PBC，PB?平面PBC，滿足定理所需條件；
（2）在面ABCD內作過F作FH⊥BC于H，又EF∥平面PBC，故點E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離FH．在直角三角形FBH中，求出FH即可，最后根據點E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離即可求出所求．

解答：（1）證明：∵AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（2）解：在面ABCD內作過F作FH⊥BC于H
∵PC⊥面ABCD，PC?面PBC
∴面PBC⊥面ABCD
又面PBC∩面ABCD=BC，FH⊥BC，FH?面ABCD∴FH⊥面PBC
又EF||平面PBC，故點E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離FH．
在直角三角形FBH中，∠FBC=60°，FB=

a

2

，FH=FBsin∠FBC=

a

2

×sin60°=

a

2

×

3

2

=

3

4

a，
故點E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離，
等于

3

4

a．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點到平面的距離，同時考查了空間想象能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．