Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

設數列的前項和為，對一切，點都在函數 的圖象上．

 (Ⅰ)求及數列的通項公式；

 (Ⅱ) 將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

（Ⅲ）令（），求證：

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ,,,

(Ⅱ) =2010

（Ⅲ）

【解析】解：（1）因為點在函數的圖象上，

故，所以．令，得，所以；

令，得， ；令，得，．

由此猜想：．

用數學歸納法證明如下：

① 當時，有上面的求解知，猜想成立．

② 假設時猜想成立，即成立，

則當時，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設得，，故．

這說明時，猜想也成立．

由①②知，對一切，成立 ． …………………………………………4分

另解：因為點在函數的圖象上，

故，所以    ①．令，得，所以；

時    ②

時①－②得

令，

即與比較可得

，解得．

因此

又，所以，從而． …………4分

（2）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010. ………………9分

（3）有（1）中知，∴，

   當時，；

  當時，

     顯然

   而（）

 

         。…………………14分