Question

已知函數y=x+有如下性質：如果常數a＞0,那么該函數在(0，］上是減函數，在［,+∞)上是增函數.

(1)如果函數y=x+(x＞0)的值域為［6,+∞)，求b的值；

(2)研究函數y=x²+(常數c＞0)在定義域內的單調性，并說明理由；

(3)對函數y=x+和y=x²+(常數a＞0)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例，研究推廣后的函數的單調性(只須寫出結論，不必證明)，并求函數f(x)=(x²+)ⁿ+(+x)ⁿ(n是正整數)在區間［,2］上的最大值和最小值(可利用你的研究結論).

Answer 1

解析：(1)函數y=x+(x＞0)在(0,]上是減函數，在［,+∞)上是增函數，

∴該函數在x=處取得最小值2.

    令2=6得b=log₂9.

(2)方法1：設t=x²≥0,顯然函數y=t+在(0,]上是減函數，在［,+∞)上是增函數.

    令x²≤，得-≤x≤,

    令x²≥,得x≥或x≤-.

    又∵t=x²在(-∞,0]上是減函數，在［0,+∞)上是增函數，

    于是利用復合函數的單調性知，函數y=x²+,在(-∞,-]上是減函數，在［-,0)上是增函數，在(0，]上是減函數，［,+∞)上是增函數.

方法2：∵y′=2x-=2x-,

    令y′=0則x=±,又∴x≠0,

    于是

x	(-∞，-)	-	(-,0)	0	(0,)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+		-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗		↘	極大值	↗

∴y=x²+(c＞0)的單調增區間是［-,0),［,+∞);

    單調遞減區間是(-∞,-],(0,].

(3)推廣結論：當n是正奇數時，函數y=xⁿ+(常數a＞0)是奇函數，故在(-∞,-]上是增函數，在［-,0)上是減函數，

    在(0,]上是減函數，在［,+∞)上是增函數.

    而當n是正偶數時，函數y=xⁿ+(常數a＞0)是偶函數，

    在(-∞,-]上是減函數，在［-,0)上是增函數，

    在(0,]上是減函數，在［,+∞)上是增函數.

    當x=1時，有最小值(1的任意次冪都是1)，

∴F(x)_min=F(1)=(1+1)ⁿ+(1+1)ⁿ=2ⁿ⁺¹,

F(x)_max=F()=F(2)=()ⁿ+()ⁿ=9ⁿ［()ⁿ+()²ⁿ］.