Question

已知函數y=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xn+

c

xn

(c＞0)的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題設條件知

2b

=4，由此可知b=4．
（2）由

c

∈[1，2]，知當x=

c

時，函數f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．再由c的取值判斷函數f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．由此入手進行單調性的討論．

解答：解：（1）由已知得

2b

=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴

c

∈[1，2]，
于是，當x=

c

時，函數f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．
f（1）-f（2）=

c-2

2

，
當1≤c≤2時，函數f（x）的最大值是f（2）=2+

c

2

；
當2≤c≤4時，函數f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．
當

2n	c

＜x₁＜x₂時，g（x₂）＞g（x₁），函數g（x）在[

2n	c

，+∞）上是增函數；
當0＜x₁＜x₂＜

2n	c

時，g（x₂）＞g（x₁），函數g（x）在（0，

2n	c

]上是減函數．
當n是奇數時，g（x）是奇函數，
函數g（x）在（-∞，-

2n	c

]上是增函數，在[-

2n	c

，0）上是減函數．
當n是偶數時，g（x）是偶函數，
函數g（x）在（-∞，-

2n	c

）上是減函數，在[-

2n	c

，0]上是增函數．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題要認真審題，仔細求解．