Question

已知圓C經過A（1，-1），B（5，3），并且被直線m：3x-y=0平分圓的面積。
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過點D（0，-1），且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的公共點，求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）線段AB的中點E（3，1），，
故線段AB中垂線的方程為y-1=-（x-3），即x+y-4=0，
由圓C經過A、B兩點，故圓心在線段AB的中垂線上，
又直線3x-y=0平分圓的面積，所以直線m經過圓心，
由，解得，即圓心的坐標為C（1，3），
而圓的半徑r=|AC|=，
故圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=16；
（Ⅱ）由直線l的斜率為k，故可設其方程為y=kx-1，
由消去y得（1+k²）x²-（8k+2）x+1=0，
由已知直線l與圓C有兩個不同的公共點，
故△=（8k+2）²-4（1+k²）＞0，
即15k²+8k＞0，
解得：k＜-或k＞0。