Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1內(nèi)有一點(diǎn)A（1，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)．
（1）求|PA|+|PF₁|的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）求|PA|+

3

2

|PF2|的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義表示出|PA|+|PF₁|，通過基本不等式求出的最小值，利用三點(diǎn)共線求出最大值，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）利用他的第二定義表示|PA|+

3

2

|PF2|，利用幾何意義求出表達(dá)式的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，2a=6，F(xiàn)₂（2，0），|AF₂|=

2

，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PA|≥|PF₂|-|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≥|PF₁|+|PF₂|-|AF₂|=2a-|AF2|=6-

2

，
等號(hào)僅當(dāng)|PA|=|PF₂|-|AF₂|時(shí)成立，此時(shí)P、A、F₂共線．
由|PA|≤|PF₂|+|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≤|PF₁|+|PF₂|+|AF₂|=2a+|AF2|=6+

2

，
等號(hào)僅當(dāng)|PA|=|PF₂|+|AF₂|時(shí)成立，此時(shí)P、A、F₂共線．
建立A、F₂的直線方程x+y-2=0，
解方程組

x+y-2=0 5x2+9y2=45

得兩交點(diǎn)P1(

9

7

-

15

14

2

 ， 

5

7

+

15

14

2

)、P2(

9

7

+

15

14

2

 ， 

5

7

-

15

14

2

)．
綜上所述，P點(diǎn)與P₁重合時(shí)，|PA|+|PF₁|取最小值6-

2

，P點(diǎn)與P₂重合時(shí)，|PA|+|PF₂|取最大值6+

2

．
（2）如圖2，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由a=3，c=2，
∴e=

2

3

．由橢圓第二定義知

|PF2|

|PQ|

=e=

2

3

，∴|PQ|=

3

2

|PF2|，
∴|PA|+

3

2

|PF2|=|PA|+|PQ|，
要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)線距離．右準(zhǔn)線方程為x=

9

2

．
∴A到右準(zhǔn)線距離為

7

2

．此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(

6 5

5

 ， 1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義以及第二定義的應(yīng)用，表達(dá)式的幾何意義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．