Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，點E是PD的中點.

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E—AC—D的大小；

（Ⅲ）求點P到平面EAC的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（I）證明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD內的兩條相交直線，即可證明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系A—xyz, , 求出平面EAC的法向量為，平面的法向量為， 即得二面角大小（Ⅲ）由（II）問得，點P平面EAC的距離代入計算即得解.

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°

所以AB=AD=AC=a，

在△PAB中，可證PA2+AB2=2a2 = PB2 ∴PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（II）如圖，建立空間直角坐標系A—xyz

設平面EAC的法向量為， ， ，又平面ACD的法向量為

，即二面角E—AC—D的大小為；

（III）點P平面EAC的距離 。